Die Staatsanwaltschaft Bischofszell führt ein Strafverfahren gegen den italienischen Staatsangehörigen und Beschwerdeführer A. wegen des Verdachts der Brandstiftung, des Diebstahls, der Drohung und weiterer Straftaten. Im Laufe des Verfahrens hatte sich A. nach Italien abgesetzt. Bei der Wiedereinreise in die Schweiz wurde A. am 7. September 2018 festgenommen und das zuständige Zwangsmassnahmengericht ordnete Untersuchungshaft an. Es folgten mehrfache Verlängerungen der Untersuchungshaft wegen Fluchtgefahr. Dagegen gelangte A. jeweils ans Obergericht des Kantons Thurgau und in einem Fall an das Bundesgericht (1B_379/2019 vom 15. August 2019).

Am 30. Oktober 2019 ordnete das Zwangsmassnahmengericht schliesslich anstelle von Untersuchungshaft Ersatzmassnahmen an. Am 24. April 2020 erhob die Staatsanwaltschaft Anklage ans Strafgericht und beantragte eine Freiheitsstrafe von 51 Monaten sowie eine Landesverweisung für die Dauer von sieben Jahren. Das Zwangsmassnahmengericht ordnete mit Entscheid vom 30. April 2020 anstelle von Sicherheitshaft die Weitergeltung der vorbestehenden Ersatzmassnahmen an. Es verbot A. Kontakt mit B. oder C. aufzunehmen oder durch Dritte aufnehmen...