I. Sachverhalt und Erwägungen des Bundesgerichts

Hintergrund des Bundesgerichtsurteils 1B_350/2020 war ein in Russland gegen A. geführtes Strafverfahren wegen Betrugs zum Nachteil der russischen Bank B. Die Bank B. war im Dezember 2015 wegen Überschuldung unter provisorische Verwaltung und Aufsicht der russischen Zentralbank geraten und unterstand zum Entscheidzeitpunkt der Konkursverwaltung durch die russische Corporation C. A. war Inhaber verschiedener Schweizer Bankkonten und an einer Vielzahl von Unternehmen wirtschaftlich berechtigt, die ebenfalls über Bankkonten in der Schweiz verfügten. Darauf wurden Vermögenswerte aus betrügerischen Handlungen zum Nachteil der Bank B. vermutet. Parallel zum russischen Strafverfahren lief gegen A. eine von der Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich geführte Strafuntersuchung wegen ungetreuer Geschäftsbesorgung zum Nachteil eines Verbandes E. sowie im Zusammenhang mit diesem Strafvorwurf und demjenigen des Betrugs wegen Geldwäscherei. Im Dezember 2017 und im Februar 2018 ersuchte Russland die Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich um Rechtshilfe im Zusammenhang mit dem in Russland hängigen Strafverfahren. Mit Verfügung vom 4. Juli 2019 gab die Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich den Anträgen der Bank B., handelnd durch ihre Konkursverwaltung, auf Gewährung der Geschädigtenstellung und auf vollumfängliche Akteneinsicht im von der Staatsanwaltschaft geführten Strafverfahren statt. Mit Beschluss vom 2. Juli 2020 hiess das Obergericht des Kantons Zürich die von A. dagegen erhobene Beschwerde teilweise gut und hob die angefochtene Verfügung in dem Sinne auf, dass der Bank B. das Akteneinsichtsrecht nur mit der Auflage gewährt werde, "von den eingesehenen Akten keinerlei Kopien (z.B. Photokopien mit Kopiergerät o.ä.) und keinerlei Aufnahmen (z.B. mit Smartphone, Tablet oder sonstigen Geräten)" zu erstellen; im Übrigen wies es die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Mit Urteil vom 28. Mai...